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limtAnx x x sinx

上面提供了两种解法。方法1是直接用洛必达法则求解; 方法2是先把tanx和sinx都取泰勒展开式的前两项作等价替换。 【若看不清楚,可点击放大。】

用洛必达法则对分子分母上下求导 原式 =lim(1-secx)/(2xsinx+x^2*cosx) =lim(-2sinx/cos^3x)/(2sinx+2xcosx+2xcosx-x^2sinx) =lim(-2-4sin^2x/cos^4x)/(2cosx+4cosx-4xsinx-2xsinx-x^2cosx) =-1/3 实在无语,相似度有那么高吗,不就是答案一样吗

x->0 tanx~ x +(1/3)x^3 tanx -x ~(1/3)x^3 ------------------ lim(x->0) (tanx-x)/(x^2.sinx) =lim(x->0) (1/3)x^3/x^3 =1/3

0/0型的极限不能随便拆项,因为这样可能造成上下无穷小的阶发生变化。 lim〔x→0〕(tanx-sinx)/x² =lim〔x→0〕(1-cosx)sinx/x²cosx =lim〔x→0〕(sin²x)sinx/x²cosx(1+cosx) =0/2 =0

如图所示

无穷近似值代换,二倍角公式 =lim(1-cosx)/x²limtanx/x =lim2sin²(x/2)/x² =lim2(x/2)²/x² =1/2

令y=(tanx)^sinx lny=sinxlntanx lim(x→0)lny =lim(x→0)sinxlntanx =lim(x→0)lntanx/cscx 这是∞/∞型,可以用洛必达法则 =lim(x→0)(1/tanx*(sec²x)/(-cotx*cscx) =lim(x→0)-sec²x/(tanx*cotx*cscx) =lim(x→0)-(1/cos²x)/(1/sinx) ...

首先要进行等价无穷小代换 sinx~x 然后应用洛必达法则, 原式=lim(x→0)(tanx-x)/(x³) =lim(x→0)(sec²x-1)/(3x²) =lim(x→0)tan²x/(3x²) =1/3 【最后一步因为tanx~x】

lim(x->0) (tanx - sinx)/x (0/0) =lim(x->0) [(secx)^2 - cosx ] =0

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