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limsinx tAnx

令A=lim(sinx)^tanx,x→π/2 则A=lim(sinx)^(2*tanx/2),x→π/2 =lim[1-(cosx)^2]^(tanx/2),x→π/2 =lim{1-1/[1+(tanx)^2]}^(tanx/2),x→π/2 =lim{1-1/[1+(tanx)^2]}^{[1+(tanx)^2]*tanx/2[1+(tanx)^2]},x→π/2 因为lim{1-1/[1+(tanx)^2]}^[1+(tanx)^2]...

0/0型的极限不能随便拆项,因为这样可能造成上下无穷小的阶发生变化。 lim〔x→0〕(tanx-sinx)/x² =lim〔x→0〕(1-cosx)sinx/x²cosx =lim〔x→0〕(sin²x)sinx/x²cosx(1+cosx) =0/2 =0

上面提供了两种解法。方法1是直接用洛必达法则求解; 方法2是先把tanx和sinx都取泰勒展开式的前两项作等价替换。 【若看不清楚,可点击放大。】

lim(tanx-sinx)/sin³x =lim(sinx/cosx -sinx)/sin³x =lim(1/cosx -1)/sin²x =lim(1-cosx)/[cosx·(1-cos²x)] =lim(1-cosx)/[cosx·(1+cosx)(1-cosx)] =lim1/[cosx(1+cosx)] =1/[1×(1+1)] =1/2 本题非常简单,连等价无穷小都没...

参考过程

无穷近似值代换,二倍角公式 =lim(1-cosx)/x²limtanx/x =lim2sin²(x/2)/x² =lim2(x/2)²/x² =1/2

lim(x->0) (tanx - sinx)/x (0/0) =lim(x->0) [(secx)^2 - cosx ] =0

lim(sinx)^tanx=lime^[tanx*lnsinx] =e^{lim[lnsinx/cotx]} 利用洛必达法则 =e^{lim[(cosx/sinx)/(-1/(sinx)^2)]} =e^{lim[-cosx*sinx]} =e^0=1

如图所示

lim(tanx-sinx/sin³x)=lim(1-cosx)/sin²x=lim 2sin²(x/2)/sin²x=(x²/2)/x²=1/2 x→0

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